Sistem Persamaan Linear
A.
Persamaan Dan Pertidaksamaan
Linear Satu Variabel.
·
Pernyataan adalah kalimat yang dapat
ditentukan nilai kebenarannya (bernilai benar atau bernilai salah).
·
Kalimat terbuka adalah kalimat yang
memuat variabel dan belum diketahui nilai kebenarannya.
·
Himpunan penyelesaian dari kalimat
terbuka adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat
terbuka sehingga kalimat tersebut bernilai benar.
·
Persamaan adalah kalimat terbuka yang
dihubungkan oleh tanda sama dengan (=).
·
Persamaan linear satu variabel adalah
kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan hanya mempunyai
satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel
adalah ax + b = 0.
·
Penyelesaian persamaan linear adalah
pengganti variabel x yang menyebabkan persamaan bernilai benar.
·
Dua persamaan atau lebih dikatakan
ekuivalen jika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dan dinotasikan dengan
tanda .
·
Suatu persamaan dapat dinyatakan ke
dalam persamaan yang ekuivalen dengan cara:
a. Menambah
atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama;
b. Mengalikan
atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
·
Bentuk Persamaan sebagai berikut :
·
Suatu ketidaksamaan selalu ditandai
dengan salah satu tanda hubung berikut.
a. untuk
menyatakan kurang dari.
b. untuk
menyatakan lebih dari.
c. untuk
menyatakan tidak lebih dari atau kurang dari atau sama dengan.
d. untuk
menyatakan tidak kurang dari atau lebih dari atau sama dengan.
·
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka
yang menyatakan hubungan ketidaksamaan .
·
Untuk menentukan penyelesaian
pertidaksamaan linear satu variabel, dapat dilakukan dalam dua cara sebagai
berikut.
a. Mencari
lebih dahulu penyelesaian persamaan yang diperoleh
dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda ketidaksamaan
dengan tanda “=”.
b. Menyatakan
ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen.
B. Menyelesaikan
Sistem Persamaan Linear Dua Peubah / Variabel
Sistem persamaan linear dua variabel
secara umum adalah sistem persamaan dalam bentuk :
a1x + b1y = k1
a2x + b2y = k2
sehingga persamaan linear tersebut dapat
diselesaikan jika a1.b2 ¹ a2.b1 sehingga persamaan linear tersebut mempunyai
titik potong di (x1,y1).
Untuk menyelesaikan / menentukan
penyelesaian sistem persamaan linear dua variable dapat digunakan beberapa cara
antara lain sebagai berikut :
1. Metode subsitusi
2. Metode eliminasi
3. Metode gabungan antara eliminasi dan subsitusi
1. Metode Subsitusi
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan linear 2x + 3y = 2.....(1)
x +
y = 1 .....(2)
Jawab :
Dari persamaan x – y = 1 didapat x = 1 + y
2x + 3y = 2 → 2(y + 1) + 3y = 1 + y
x = y + 1 2y + 2 + 3y = 2
5y = 0
y = 0
y = 0 → x = 1 + y
x
= 1 + 0
x
= 1
jadi himpunan penyelesaiannya = {1, 0}
2. Metode Eliminasi
Dengan metode eliminasi tentukan himpunan penyelesaian
dari
2x + 3y = 6
2x + y = -2
Jawab :
2x + 3y = 6
2x + y = -2 -
2y = 8
y = 4
2x + 3y = 6 │x 1 → 2x + 3y = 6
2x +
y = -2 │x 3 → 6x + 3y = -6 -
-4x = 12
x = -3
Jadi penyelesaiannya x = -3, y = 4
HP = {-3, 4}
3.
Metode gabungan
eliminasi dan subsitusi
Dengan metode eliminasi dan subsitusi tentukan
himpunan penyelesaian dari
3x + 4y = -1
x - y = 2
Jawab :
3x + 4y = -1 │x 1 → 3x + 4y = -1
x - y = 2 │x
3 → 3x - 3y = 6 -
7y = -7
y = -1
y = -1 → x – y = 2
x
– (-1) = 2
x
= 2 – 1
x
= 1
Jadi himpunan penyelesaiannya ={1, -1}
C.
Menyelesaikan Sistem
Persamaan Linear Tiga Peubah / Variabel
1.
Metode Subsitusi
Contoh :
Dengan metode subsitusi
tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut !
2x + y - z = 3 ....(1)
x +
y + z = 1 ....(2)
x – 2y – 3z = 4 ....(3)
Jawab :
Dari persamaan (2) x
+ y + z = 1 → x = 1 – y – z ....(4)
(4 dan 1) → 2x + y – z = 3
2(1 – y – z) + y – z = 3
2 – 2y – 2z + y – z = 3
-y – 3z = 1
y = -3z – 1 ....(5)
(3 dan 4) → x – 2y – 3z = 4
1 – y – z – 2y – 3z = 4
-3y – 4z = 3 ....(6)
(5 dan 6) → -3y – 4z = 3
-3 (-3z – 1) – 4z = 3
9z + 3 – 4z = 3
5z = 0
z = 0 ....(7)
untuk z = 0 disubsitusikan ke persamaan
(5)
y = -3z – 1
y = -3(0) – 1
y = -1
untuk z = 0, y = -1, disubsitusikan ke
persamaan (2)
x + y + z = 1
x – 1 + 0 = 1
x = 2
Jadi himpunan penyelesaiannya {(2, -1,
0)}
2.
Metode eliminasi dan subsitusi atau gabungan
Contoh :
Dengan metode
gabungan tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut!
2x –
y - 2z = -1 ....(1)
3x +
2y – z = 10 ....(2)
4x –
y - 3z = - 3 ....(3)
Jawab
Dari persamaan (1)
dan (3)
2x – y + 2z = -1 │ x 2 → 4x – 2y + 4z = -2
-4x – y – 3z = -3 │ x
1 → -4x – y – 3z = -3 +
-3y + z = -5 .... (4)
Dari persamaan (2) dan (3)
3x – 2y + z = 10 │ x 4 → 12x
+ 8y - 4z = 40
-4x – y – 3z = -3 │ x 3 → -12x
– 3y – 9z = -9 +
5y – 13z = 31 .... (5)
Dari persamaan (4) dan (5)
-3y + z = -5 │ x 13 → -39y + 13z = -65
-3y(1) + z = -5 │ x 1 → 5y
– 13z = 31 +
-34y = -34 .... (5)
y = 1
y = 1 disubsitusikan ke persamaan (4)
-3y + z = -5
-3(1) + z = -5
z = -5 + 3
z = -2
untuk y = 1, z = -2 disubsitusikan ke
persamaan (1)
2x – y + 2z = -1
2x – 1 + 2(-2) = -1
2x – 5 = -1
2x = -1 + 5
2x = 4
x = 2
Jadi himpunan penyelesaiannya {(2, 1,
-2)}